双曲線
双曲線（そうきょくせん、英：hyperbola）とは、2次元ユークリッド空間 R2 上で定義され、ある2点 P , Q からの距離の差が一定であるような曲線の総称である。この P , Q は焦点と呼ばれる。双曲線は、次の陰関数曲線の直交変換によって決定することができる。
- <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (*)</math>
この場合、焦点の座標は
- <math>P = (-\sqrt{a^2+b^2},0) \ , \ Q = (\sqrt{a^2+b^2},0)</math>
と書ける。このとき、2焦点から曲線への距離の差は 2a となる。また、双曲線には 2 つの漸近線が存在しており、
- <math>bx+ay = 0 \ , \ bx-ay = 0</math>
である。漸近線が直交している、すなわち a=b であるとき、この双曲線を特に直角双曲線と呼んだりする。
反比例のグラフ<math>xy = C</math>も双曲線の一種である。これは、直角双曲線：<math>a^2-b^2=2C</math> を直交変換によって <math>\pi/4</math> だけ回転させた双曲線に等しい。
- <math>
\begin{cases}
x = \pm a \cosh t \\ y = b \sinh t
\end{cases} </math>
円錐曲線としての双曲線
離心率が e であるような円錐曲線を Ce とする。このとき、e > 1 であれば、 Ce は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が x = -f , 焦点の一つが P = (f,0) となったとする。双曲線の任意の点 T = (x,y) に対し、方程式
- <math>e(x-f) = d(P,T)</math>
が成立するが、<math>d(P,T) = \sqrt{(x-f)^2 + y^2}</math> となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、
- <math>x^2 + 2 \left( \frac{e^2+1}{e^2-1} \right) fx - \frac{y^2}{e^2-1} = -f^2 </math>
さらに x に関して平方完成させることにより、
- <math>\left(x+\left(\frac{e^2+1}{e^2-1}\right)f \right)^2 - \frac{y^2}{e^2-1} = \left(\frac{2e}{e^2-1}f \right)^2</math>
これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに直交変換：<math>X = x + \frac{e^2 + 1}{e^2-1} f</math> , Y=y を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。
また、双曲線は、円錐を底面を通る軸に平行でない面で切断したときの、切断面の境界である。
関連項目
外部リンク
参考文献
- 『曲線の事典 性質・歴史・作図法』 礒田正美、Maria G. Bartolini Bussi編、田端毅、讃岐勝、礒田正美著:共立出版、2009年 ISBN 9784320019072
