勾配 (ベクトル解析)のソースを表示

{{no footnotes|date=December 2011}}
<!--{{calculus|expanded=Vector calculus}}-->
[[Image:Gradient2.svg|thumb|300px|二つの図で、白と黒で表されるスカラー場は黒の方が値が高く、対応する勾配は青矢印で表されている。]]

[[ベクトル解析]]における[[スカラー場]]の'''勾配'''（こうばい、{{lang-en-short|''gradient''}}; グラディエント）は、各点においてそのスカラー場の変化率が最大となる方向への変化率の値を[[大きさ (数学)|大きさ]]にもつベクトルを対応させる[[ベクトル場]]である。簡単に言えば、任意の量の空間における変位を、傾きとして表現（例えば図示）することができるが、そこで勾配はこの傾きの向きや傾きのきつさを表している。

[[ユークリッド空間]]上の[[関数|函数]]の勾配を、別なユークリッド空間に値を持つ[[写像]]に対して一般化したものは、[[ヤコビ行列]]で与えられる。さらに一般化して、[[バナッハ空間]]から別のバナッハ空間への写像の勾配を[[フレシェ微分]]を通じて定義することができる。

== 解釈 ==
[[File:Gradient of a Function.tif|thumb|350px|二変数函数 <math>f(x,y)= xe^{-x^2 - y^2} </math> の勾配を[http://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/pcolor.html 擬色描画]された函数の上の青矢印として描画したもの]]
一つの部屋を、その部屋の[[熱力学温度|温度]]を与えるスカラー場 ''T'' と考えれば、各点 (''x'',''y'',''z'') における温度を ''T''(''x'',''y'',''z'') と書くことができる（ここでは温度は時間変化を起こさないものと仮定する）。部屋の各点において、''T'' の勾配は最も早く温度が上昇する方向を指し、その大きさはその方向でどれほど早く温度が上昇するかを示している。

点 (''x'', ''y'') における海抜が ''H''(''x'', ''y'') であるような曲面を考える。ある点における ''H'' の勾配は、その点においてもっとも[[傾き]]（[[縦断勾配]]）が急峻であるような方向を指すベクトルで、その大きさはその点でのもっとも急峻な傾きの値によって与えられる。

勾配からは、[[内積]]を取ることにより、最も変化の大きい方向以外の方向でも、そのスカラー場がどれほど変化するかを知ることができる。
丘陵のもっとも急峻な傾きが 40% とすると、その丘陵を真っ直ぐ上る道の最も急峻な傾きも 40% となるが、代わりに適当な角度をつけて丘陵をぐるりと回る道を行けば、傾きはもっと緩やかになるはずである。
例えば、道と真っ直ぐ坂を上がる方向との間の角度が、水平面に投影して 60&deg;になっていれば、その道の最も急峻な傾きは 20%（40% に 60&deg;の[[コサイン|余弦]]を掛けたもの）になるはずである。

この考察を数学的に述べると以下のようになる。丘陵の高さを表す函数 ''H'' が[[可微分函数|微分可能]]であるものとすれば、''H'' の勾配に[[単位ベクトル]]との[[点乗積|内積]]をとれば、そのベクトルの方向への丘陵の傾きが得られる。もう少し形式的に書くと、''H'' が可微分であるとき、''H'' の勾配と与えられた単位ベクトルとの内積は、その単位ベクトルの方向への ''H'' の[[方向微分]]に等しい。

== 定義 ==
[[Image:Gradient99.png|thumb|350px|函数 {{nowrap|1=f(''x'',''y'') = −(cos<sup>2</sup>''x'' + cos<sup>2</sup>''y'')<sup>2</sup>}} の勾配を、底面に射影したベクトル場として描いたもの]]
スカラー函数 ''f'' (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>) の勾配（勾配ベクトル場）は、ベクトル微分作用素 ∇（[[ナブラ記号]]）を用いて、<math>\nabla f</math> あるいは <math>\vec{\nabla} f</math> と書かれる。勾配を <math>\mathrm{grad}\, f</math> と書くことも広く行われている。

''f'' の勾配 &nabla;''f'' とは、各点 ''x'' において任意の[[空間ベクトル]] '''v''' との[[点乗積]]が ''f'' の '''v''' に沿う[[方向微分]]に一致する[[ベクトル場]]として一意的に定義される。式で書けば、勾配は
: <math>(\nabla f(x))\cdot \mathbf{v} = D_{\mathbf v}f(x)</math>
で決定されるということである。直交座標系において、勾配は成分が ''f'' の[[偏微分]]で与えられるベクトル場
: <math> \nabla f  = \frac{\partial f}{\partial x_1 }\mathbf{e}_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n }\mathbf{e}_n</math>
である。ただし、'''e'''<sub>''i''</sub> はこの座標系の目地を描く直交単位ベクトルである。
函数が例えば時間のようなパラメータにも依存する場合、その勾配とは単に空間成分の微分のみからなるベクトルを指すことも多い。

三次元[[デカルト座標系]]においてこれは、'''i''', '''j''', '''k''' を[[基本ベクトル|基本単位ベクトル]]として
: <math>\frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} +
\frac{\partial f}{\partial y}  \mathbf{j} +
\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}</math>
と書ける。例えば函数 ''f'' (''x'', ''y'', ''z'') = 2''x'' + 3''y''<sup>2</sup> &minus; sin(''z'') の勾配は &nabla;''f'' = 2'''i''' + 6''y'''''j''' &minus; cos(''z'')'''k''' となる。

応用に際して、勾配をその直交座標系に関する成分の成す[[行ベクトル]]もしくは[[列ベクトル]]として表示することもある。

== 勾配と全微分の関係 ==
=== 写像の線型近似 ===
[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> から '''R''' への[[函数]] ''f'' の、任意の点 ''x''<sub>0</sub> &isin; '''R'''<sup>''n''</sup> における勾配は、''x''<sub>0</sub> における ''f'' の最適[[線型近似]]を特徴づけるものである。即ち、線型近似式は ''x''<sub>0</sub> にほど近い ''x'' に対して
: <math> f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0) </math>
で与えられる。ここで <math>(\nabla f)_{x_0}</math> は ''x''<sub>0</sub> における ''f'' の勾配であり、中黒は '''R'''<sup>''n''</sup> における[[点乗積]]である。この式は ''f'' の ''x''<sub>0</sub> における多変数[[テイラー級数]]展開の最初の二項をとったものと同値である。

=== 全微分 ===
函数 ''f'': '''R'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''n''</sup> の点 ''x'' &isin; '''R'''<sup>''n''</sup> にける最適線型近似は、'''R'''<sup>''n''</sup> から '''R''' への線型汎函数であり、''x'' における ''f'' の'''微分係数'''あるいは[[全微分|全微分係数]] ''df<sub>x</sub>'', ''Df''(''x'') と呼ばれる。従って勾配は全微分係数との間に
:<math> (\nabla f)_x\cdot v = df_x(v)\quad (v\in\mathbb{R}^n)</math>
なる関係で結ばれている。''x'' を ''df''<sub>''x''</sub> へ写す函数 ''df'' は ''f'' の（全）微分または（全）導函数と呼ばれ、これを[[一次微分形式]]と解釈して ''f'' の外微分と見做すこともできる。

'''R'''<sup>''n''</sup> を（長さ ''n'' で成分が実数値の）列ベクトル全体の成す空間と見るとき、全微分 ''df'' を行ベクトル
:<math> df = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right) </math>
と見做して、''df''<sub>''x''</sub>(''v'') を行列の積で与えることができる。このとき、勾配は列ベクトル 
: <math>\nabla f = {}^t(df)</math>
に対応する。

=== 微分としての性質 ===
''U'' を '''R'''<sup>''n''</sup> の[[開集合]]とし、函数 {{nowrap|''f'': ''U'' → '''R'''}} が[[フレシェ微分|（フレシェ）微分可能]]とすると、''f'' の全微分は ''f'' の（フレシェ）導函数であり、従って ∇''f'' は ''U'' から空間 '''R''' への写像で
:<math>\lim_{h\to 0} \frac{\|f(x+h)-f(x) -\nabla f(x)\cdot h\|}{\|h\|} = 0</math>
を満たすものである（中黒は点乗積）。

この帰結として、勾配が通常の微分が持つ微分法則を満足することがわかる。
; [[線型性]]
: 二つの実数値函数 ''f'', ''g'' が点 {{nowrap|''a'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}} において微分可能で、α, β が実定数であるとき、線型和 {{nowrap|α''f'' + β''g''}} は ''a'' において微分可能であり、さらに<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  \nabla(\alpha f+\beta g)(a) = \alpha \nabla f(a) + \beta\nabla g (a)
</math></div>を満たすという意味で、勾配は線型である。
; [[積の微分法則]]
: ''f'' と ''g'' が実数値函数で点 {{nowrap|''a'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}} において微分可能ならば、それらの積 {{nowrap|1=(''fg'')(''x'') = ''f''(''x'')''g''(''x'')}} は ''a'' において微分可能で、<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  \nabla (fg)(a) = f(a)\nabla g(a) + g(a)\nabla f(a)
</math></div>なる積の法則を満たす。
; [[連鎖律]]
: '''R'''<sup>''n''</sup> の部分集合 ''A'' 上で定義された実数値函数 {{nowrap|''f'': ''A'' → '''R'''}} が点 ''a'' において微分可能とする。勾配に関する連鎖律には二つの形が存在する。
: 一つ目は、函数 ''g'' を[[曲線の媒介変数表示]]、即ち '''R''' の部分集合 ''I'' から '''R'''<sup>''n''</sup> への函数 {{nowrap|''g'': ''I'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} とするとき、''g'' が ''g''(''c'') = ''a'' なる ''I'' の点 ''c'' で微分可能ならば、<div style="margin: 1ex 2em"><math>(f\circ g)'(c) = \nabla f(a)\cdot g'(c)</math></div>が成立するというもの。ただし ∘ は[[写像の合成]]である。より一般に、{{nowrap|''I'' ⊂ '''R'''<sup>''k''</sup>}} である場合にも<div style="margin: 1ex 2em"><math>
  \nabla (f\circ g)(c) = {}^t(Dg(c))(\nabla f(a))
</math></div>が成立する。ただし、<sup>''t''</sup>(''Dg'') は転置[[函数行列]]である。
: 二つ目の連鎖律は、'''R''' の部分集合 ''I'' 上の実数値函数 {{nowrap|''h'': ''I'' → '''R'''}} が {{nowrap|''f''(''a'') ∈ ''I''}} なる点において微分可能ならば<div style="margin: 1ex 2em;"><math>\nabla (h\circ f)(a) = h'(f(a))\nabla f(a)</math></div>というものである。

== 更なる性質と応用 ==
=== 等位集合 ===
{{see also|等位集合}}
''f'' が可微分であるとき、点 ''x'' における勾配とベクトル ''v'' との[[点乗積]] {{nowrap|(∇''f'')<sub>''x''</sub> ⋅ ''v''}} は ''x'' における ''f'' の ''v''-方向への[[方向微分]]を与える。従ってこの場合、''f'' の勾配は ''f'' のすべての[[等位集合]]と[[直交]]する。例えば、三次元空間における等位面は {{nowrap|1=''F''(''x'', ''y'', ''z'') = ''c''}} なる形の方程式で定義され、そして ''F'' の勾配はこの面の法線族となる。

より一般に、リーマン多様体に[[多様体の埋め込み|埋め込まれた]]任意の[[超曲面]]は  {{nowrap|1=''F''(''P'') = 0}}（ただし ''dF'' は至る所零でない）の形の方程式に表すことができて、''F'' の勾配はこの超曲面の法線族になる。

一点 ''P'' において函数 ''f'' を考えるとき、この点 ''P'' を通る曲面を描き、この曲面上の各点で函数が同じ値を取るものとすれば、この曲面は「等位面」と呼ばれる。

=== 保存ベクトル場と勾配定理 ===
{{main|{{仮リンク|勾配定理|en|Gradient theorem}}}}

函数の勾配を勾配場と呼ぶ。連続勾配場は常に[[保存場]]で、任意の積分路に沿った[[線積分]]は積分路の端点にのみ依存して決まり、その値は[[勾配定理]]（線積分に対する微分積分学の基本定理）で求められる。逆に連続保存ベクトル場は必ずある函数の勾配場として得られる。

== リーマン多様体 ==
[[リーマン多様体]] (''M'',''g'') 上の任意の滑らかな函数 ''f'' に対し、''f'' の勾配 ∇''f'' とは、任意のベクトル場 ''X'' について
:<math>g(\nabla f, X) = \partial_X f, \quad \text{i.e.,}\quad g_x((\nabla f)_x, X_x ) = (\partial_X f) (x)</math>
を満たす[[ベクトル場]]を言う。ただし {{nowrap|''g''<sub>''x''</sub>( , )}} は計量 ''g'' の定める ''x'' における接ベクトルの[[内積]]で、∂<sub>''X''</sub>''f''（''X''(''f'') とも書く）は各点 {{nowrap|''x'' ∈ ''M''}} において ''X''-方向への ''f'' の[[方向微分]]の ''x'' における値をとる函数である。言い換えれば、[[座標チャート]] φ において ''M'' の開集合から '''R'''<sup>''n''</sup> の開集合への写像 (∂<sub>''X''</sub>''f'')(''x'') は
:<math>\sum_{j=1}^n X^{j} (\varphi(x)) \frac{\partial}{\partial x_{j}}(f \circ \varphi^{-1}) \Big|_{\varphi(x)}</math>
で与えられる。ここに ''X''<sup>''j''</sup> は、この座標チャートにおける ''X'' の第 ''j''-成分を表す。

故にこの勾配の局所形は
:<math> \nabla f= g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^{k}}\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>
となる。{{nowrap|1=''M'' = '''R'''<sup>''n''</sup>}} の場合を一般化して、函数の勾配と[[微分形式#外微分|外微分]]とを 
:<math>(\partial_X f) (x) = df_x(X_x)</math>
によって関係づけることができる。より細かく言えば、勾配ベクトル場 ∇''f'' は微分一次形式 ''df'' と ''g'' の定める{{仮リンク|上げ下げ同型|en|musical isomorphism|label=上げ同型}}（シャープ） 
:<math>\sharp=\sharp^g\colon T^*M\to TM</math> 
を用いて対応付けられる。'''R'''<sup>''n''</sup> 上の函数の勾配と外微分との間の関係は、この計量が点乗積の与える平坦計量である特別の場合である。

== 円筒座標系および球面座標系での表示 ==
[[円筒座標系]]において勾配は
: <math>\nabla f(\rho, \phi, z) = 
\frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho+
\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_\phi+
\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_z
</math>
で与えられる{{harv|Schey|1992|pp=139–142}}。ここで ϕ は方位角, ''z'' は軸方向の座標および '''e'''<sub>ρ</sub>, '''e'''<sub>φ</sub>, '''e'''<sub>''z''</sub> は各座標軸方向に沿った単位ベクトルである。

[[球座標系]]においては

:<math>\nabla f(r, \theta, \phi) = 
\frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r+
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta+
\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_\phi
</math>
となる{{harv|Schey|1992|pp=139–142}}。ここに ϕ は[[方位角]]で θ は[[天頂角]]である。

== ベクトル値函数の勾配 ==
直交座標系において、ベクトル '''f''' = (''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>, ''f''<sub>3</sub>) の勾配は
: <math>\nabla \mathbf{f}=\frac{\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}{{\mathbf{e}}_{i}}{{\mathbf{e}}_{j}}</math>
あるいは[[函数行列]]
: <math>\frac{\partial ({{f}_{1}},{{f}_{2}},{{f}_{3}})}{\partial ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})}</math>

で定義される。曲面座標系における勾配には[[クリストッフェル記号]]が現れる。

== 関連項目 ==
* [[勾配定理]]
* [[ナブラ]]
* [[発散 (ベクトル解析)]]
* [[回転 (ベクトル解析)]]
* {{仮リンク|歪勾配|en|Skew gradient}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
*{{citation |first1=Theresa M.|last1=Korn|last2=Korn|first2=Granino Arthur |title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review |publisher=Dover Publications |location=New York |year=2000 |pages=157–160 |isbn=0-486-41147-8 |oclc=43864234 |doi=}}.
*{{citation|first=H.M.|last=Schey|title=Div, Grad, Curl, and All That|publisher=W.W. Norton|edition=2nd|year=1992|isbn=0-393-96251-2|oclc=25048561}}.
*{{citation|first=B.A.|last=Dubrovin|coauthors=A.T. Fomenko, S.P. Novikov|title=Modern Geometry--Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields (Graduate Texts in Mathematics)|publisher=Springer|edition=2nd|year=1991|pages=14–17| isbn=978-0-387-97663-1}}

== 外部リンク ==
<!-- {{wiktionary}} -->
* [[Khan Academy]] [http://www.khanacademy.org/video/gradient-1?playlist=Calculus Gradient lesson 1]
*{{springer | title=Gradient | id= G/g044680 | last= Kuptsov | first= L.P. | author-link=}}
* {{MathWorld |title=Gradient |urlname=Gradient}}
* {{PlanetMath |title=gradient |urlname=Gradient}}

{{DEFAULTSORT:こうはい}}
[[Category:微分法]]
[[Category:微分の一般化]]
[[Category:線型作用素]]
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:数学に関する記事]]