ディラック方程式

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テンプレート:場の量子論 ディラック方程式（ディラックほうていしき）はフェルミ粒子を記述するディラック場が従う基礎方程式である。ポール・ディラックにより相対論的量子力学として導入され、場の量子論に受け継がれている。

歴史

非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として、最初クライン-ゴルドン方程式が考案された。これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた（この問題は、その後の場の量子論においては回避される）。また、クライン-ゴルドン方程式にはスピンが出てこない問題もあった（これはクライン-ゴルドン方程式に従うスカラー場がスピンを持たない粒子を記述する為である）。

ポール・ディラックは1928年にディラック方程式を基礎方程式とする（特殊）相対論的量子力学を見出した。 ディラック方程式からは負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に現れる。 しかしディラック方程式からは、自然界には存在しないような負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。 オスカル・クラインは、ある種の強いポテンシャルのもとで正エネルギーの電子が負エネルギー状態へ遷移しうることを示して、理論から負エネルギー状態を完全に排除することが困難であることを指摘した。 1930年にディラックは、「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とするディラックの海の概念（空孔理論、テンプレート:En）を考案した。 ディラックは当初この空孔による粒子を陽子であると考えたが、それは後に陽電子であることが指摘された（ヘルマン・ワイル、ロベルト・オッペンハイマーによる）。 ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。 光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。

1932年のデヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見により、この空孔理論は現実の現象を説明する優れた理論であったが、その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られた（相対論的な場の量子論）。 その結果、真空での負エネルギーの電子の海（ディラックの海→空孔理論）を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。 テンプレート:Main

ディラック方程式

ディラック方程式は <math>\hbar=1,c=1</math> とする自然単位系では テンプレート:Indent と表される。ψ は4成分スピノルの場（ディラック場）である。 テンプレート:Indent m は ψ の質量である。 μ=0,1,2,3 についてはアインシュタインの縮約記法を用いる。微分<math>\partial_\mu</math> は テンプレート:Indent である。 <math>\gamma^\mu</math> はガンマ行列（ディラック行列）と呼ばれる 4×4行列で テンプレート:Indent を満たす。<math>\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)</math> はミンコフスキー空間の計量テンソルである。 ディラック方程式は3次元的に書けば テンプレート:Indent となる。移項して左から <math>\gamma^0</math> を掛ければ テンプレート:Indent と表すことができる。 ただし <math>\alpha^j=\gamma^0\gamma^j, \beta=\gamma^0</math> である。 ここで<math>H=-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla+\beta m</math> はディラックのハミルトニアンと呼ばれる。

ディラックの着想

相対論的な量子力学の基礎方程式として考案されたクライン-ゴルドン方程式 テンプレート:Indent は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式 テンプレート:Indent に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式 テンプレート:Indent を満たすように４つの係数 α=(α1, α2, α3)、β を与えることを考えた。このとき、αi(i=1,2,3)、βに要求される代数関係は テンプレート:Indent テンプレート:Indent となるが、こうした性質を満たすには係数は行列でなくてはならない。

ローレンツ共変性

ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。

即ち、ローレンツ変換

<math>x^\mu \rightarrow x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu</math>
<math>\psi_a(x) \rightarrow \psi'_a(x) = [D(\Lambda)]_a{}^b\,\psi_b(\Lambda^{-1}x)</math>

(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、

<math>(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi'(x)=0</math>

となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は

<math>[D(\Lambda)]_a{}^c \,[\gamma^\mu]_c{}^d \,[D(\Lambda)^{-1}]_d{}^b
= (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu[\gamma^\nu]_a{}^b </math>

によって定まる。

ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて

<math>D(\Lambda) =

\begin{pmatrix} M & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & (M^\dagger)^{-1} \\ \end{pmatrix} </math>

<math>M \sigma^\mu M^\dagger
= (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu\sigma^\nu</math>

と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は

<math>\Lambda^\mu{}_\nu =

\begin{pmatrix} \cosh\beta & 0 & 0 & \sinh\beta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \sinh\beta & 0 & 0 & \cosh\beta \\ \end{pmatrix} </math>

<math>M =

\begin{pmatrix} e^{-\beta/2} & 0 \\ 0 & e^{\beta/2} \\ \end{pmatrix} </math> となる。

参考文献

原論文

関連項目

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