ガウスの法則

この項目では、電場に対するガウスの法則について説明しています。磁場に対するガウスの法則については「ガウスの法則 (磁性)」をご覧ください。

ガウスの法則とは（ガウスのほうそく、テンプレート:Lang-en-short^[1]）とは、カール・フリードリヒ・ガウスが1835年に発見し、1867年に発表した電荷と電場の関係をあらわす方程式である。この式はジェームズ・クラーク・マクスウェルにより数学的に整備され、マクスウェルの方程式の1つとなった。電気におけるアンペールの法則とみなすこともできる。

ちなみに、単位のガウスは磁束密度の単位であり、電場を扱うこの法則とは全く関係がない。

積分形式

一般に積分形式とよばれるガウスの法則は以下の形であらわされる。テンプレート:Indent

ここで、

である。

この式は、ある領域内に電荷が存在すると、その領域から電荷と等しい大きさの電束という物理量が出入りするということを示している。

電場 E (D =εE)を用いてテンプレート:Indent と表すこともできる。<math>\varepsilon</math>は誘電率であり、非線形素子においては行列となることもあるが、線形の場合はスカラー量である。

閉曲面Sにおいて、ガウスの法則（<math>\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = Q</math> ）において、体積Vの微小変化による電束（ガウスの法則、面積分）の変化率をdivD で表す。テンプレート:Indent ここでΔSはΔVの表面である。

ρ

: 電荷密度

となる。

ここで記号「div」はダイバージェンス（divergence）と読み、発散を表す。

直角座標においてdivD は、テンプレート:Indent となる。

微分形式と呼ばれるガウスの法則は以下の形であらわされる。この形はジェームズ・クラーク・マクスウェルにより整備された。テンプレート:Indent ここで、

D

である。∇（ナブラ）は微分演算子である。

また、E-B対応と呼ばれる形に改めると、テンプレート:Indent となる。