比例式

比例式（ひれいしき）とは、比あるいは連比に関する等式のことである。

A に対する B の割合が、X に対する Y の割合に等しいとき、

<math>A:B=X:Y</math>

と書く。すなわち、ある比とある比が等しいとき、このように比と比を等号で結んだものが比例式である。

定義

A : B = X : Y すなわち、二つの比 A : B と X : Y が等しいとは、A に対する B の割合が、X に対する Y の割合に等しいことであると定義すると、これはすなわち

<math>{A\over B}={X\over Y}</math>

なる分数の等式が成り立つことである。これは

<math>A:B=X:Y \iff {B\over A}={Y\over X}</math>

あるいは

<math>A:B=X:Y \iff {A\over X}={B\over Y}</math>

と定義しても同じである。このように定義される比の等式 A : B = X : Y あるいは分数の等式 A / B = X / Y を比例式という。また、連比が等しいとは、

<math>A_1:A_2:\cdots:A_n = X_1:X_2:\cdots:X_n

\iff {A_1\over X_1}={A_2\over X_2}=\cdots={A_n\over X_n}

</math> と定義され、比の場合と同様に等式

<math>A_1:A_2:\cdots:A_n = X_1:X_2:\cdots:X_n</math>

または

<math>{A_1\over X_1}={A_2\over X_2}=\cdots={A_n\over X_n}</math>

のことを比例式とよぶ。

別の表示

比例式

<math>{A_1\over X_1}={A_2\over X_2}=\cdots={A_n\over X_n}</math>

の値を c とすると

<math>{A_1\over X_1}= c,\ {A_2\over X_2}= c,\ldots,{A_n\over X_n} = c</math>

が成り立つから、これを連立一次方程式

<math>\left\{\begin{matrix}

A_1 = cX_1, \\
A_2 = cX_2, \\
\vdots\quad \\
A_n = cX_n.

\end{matrix}\right.</math> の形に表示することができる。

性質

比例式には、次のような性質がある。

• <math>A:B=X:Y \iff B:A=Y:X.</math>

• 外項の積と内項の積が等しい（分数式で考えた場合、たすきに掛けた積が等しい）。

  <math>A:B=X:Y \iff AY=BX.</math>

関連項目

• 比
• 割合
• 分数