カイザー窓

ファイル:Kaiser-window.png

Kaiser window function for n=100 and α= 0.5,1,2,4,8,16.

カイザー窓 (Kaiser window) はデジタル信号処理で使用される準最適の窓関数 w_k である。そして公式

• <math>w(x) = \frac{ I_0 \left\{ \pi \alpha \sqrt{ 1 - (\frac{2k}{n-1} - 1) ^ 2 } \right\} }{ I_0( \pi \alpha ) }, \ \mbox{if } 0 \leq k \leq n </math>

によって定義されている。ここで I₀ は第1種の0次の変形ベッセル関数であり、α は窓の形状を決める任意の実数である、そして整数 n は窓の長さである。

定義から、この関数は常に k = n/2、すなわち窓の中心でピークをもち、そして窓の端に向かって指数関数的に減衰する。

α の値が大きくなるほど窓は狭くなっていく。α = 0　は長方形窓に相当する。逆に言えば、より大きい α に対して、メインローブの幅は w_k のフーリエ変換後の空間で増加し、サイドローブは振幅で減衰する。このようにしてこのパラメータはメインローブの幅とサイドローブの領域を支配している。α を大きくするほどカイザー窓の形状はガウス型関数に近似したものとなる。

他の窓関数では、変更可能なパラメータが無く、得られるダイナミックレンジが固定されている場合が多いが、カイザー窓の場合はαの値を大きくするだけで、ダイナミックレンジを自由に広く取ることが可能である。

カイザー-ベッセル派生 (KBD) 窓

関連した窓関数は カイザー-ベッセル派生 (KBD) 窓である、これは修正離散コサイン変換 (MDCT) での使用に適当であるように設計されたものである。

KBD 窓関数 d_k はカイザー窓 w_k の項で、公式

ファイル:Kbd-window.jpg

KBD window function for M = 128 and πα = 2, 8, 24, 100.

<math>d_k = \left\{ \begin{matrix}\sqrt{\frac{\sum_{j=0}^{k} w_j} {\sum_{j=0}^{n} w_j}} & \mbox{if } 0 \leq k < n \\ \\ \sqrt{\frac{\sum_{j=0}^{2n-1-k} w_j} {\sum_{j=0}^{n} w_j}} & \mbox{if } n \leq k < 2n \\ \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{matrix} \right.</math>

で定義される。

これは長さ 2n の窓を定義している。ここで定義から d_k はMDCTに対する次のプリンセン-ブラッドレイ条件を満たす： d_k²+d_k+n² = 1（w_n-k = w_k を用いて示される）。

KBD 窓はもう1つの MDCT 条件である対称性 d_k = d_2n-1-k も満たす。

応用

KBD 窓関数はAdvanced Audio Codingデジタル音声フォーマットで使われている。

参考文献

• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, Discrete-Time Signal Processing (Prentice-Hall, 1999).
• J. F. Kaiser, "Digital Filters," System Analysis by Digital Computer chap. 7 (Wiley: New York, 1966); F. F. Kuo and J. F. Kaiser, eds.
• KBD Window Page
• H.Kato web page