合成数
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合成数（ごうせいすう、テンプレート:Lang-en-short）は、自然数で、1とその数自身以外の約数を持つ数である。2つ以上の素数の積で表すことのできる自然数と定義してもよい。例えば15は1と15自身以外に3と5を約数に持つ（または[3×5]と素数の積で表される）ので合成数である。9や25など素数を2乗した数は1つしか素因数をもたないが、9=3×3 のように2つの素数の積で表せる合成数である。
最小の素数は2であり、これを2乗した4が最小の合成数となる。合成数は無数にあり、4から小さい順に列記すると
合成数は素数でない自然数と考えられる。ただし自然数の内1だけは合成数でも素数でもない単数である。また自然数に0を含む場合でも0は合成数でも素数でもない。
言い換えれば、「1と素数と合成数から自然数が構成される」とも捉えることが出来る。解釈によってはこれに0を加える。
数学的性質
- 4以上の全ての偶数は合成数である。6以上の全ての偶数は最低4個の約数を持つ。
- 10以上の数では一の位が 0,2,4,5,6,8 であれば全て合成数である。
- <math>(n-1)! \,\,\, \equiv \,\, 0 \pmod{n}</math> 6≦n である合成数nはこの式を満たす。（→ウィルソンの定理）
- 合成数は少なくとも3個の約数を持つ。また素数の2乗以外の合成数は最低4個の約数を持つ。最少個の約数を持つ合成数は素数pを2乗したp2で、1,p,p2 の3つがその約数である。
- 3番目以降の多角数は合成数である。また、完全数や過剰数も全て合成数である。
- 任意の自然数nに対して、連続するn個の合成数を自然数列から取り出すことができる。実際、(n+1)!+2, (n+1)!+3, …, (n+1)!+(n+1)は連続するn個の合成数である。
