一次方程式

数学における一次方程式（いちじほうていしき、first-degree polynomial equation, linear equation）は一次多項式の根を求めるものである。

一変数の場合

a, b は実数の定数とするとき、

後者の形の場合は、a ≠ 0 ならば（a⁻¹ = 1⁄a が存在するから）一意的に解けて x = b⁄a がその解である。a = 0 のとき、b ≠ 0 ならば不能、b = 0 ならば不定である。

で、これは {(x, y) | ax + by + c = 0} なる集合、つまり平面上の直線を表すと考えられる。が

なる形で扱われることも多い。これはふつう、x を自由変数とし y を x の従属変数とみるとき、一次函数と呼ばれるものである。

はユークリッド空間 R³ における平面（空間平面）を表す。これは、ベクトル n := (a, b, c) に直交し、平面上の一点 x₀ が与えられれば

<math>\mathbf{n}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)=0</math>

なる形に書きなおせる（平面の場合の「点・傾き標準形」の一般化）。ただし、左辺はベクトルの点乗積である。このベクトル方程式は一般の n-次元で考えれば、Rⁿ 内の超平面（余次元 1 のアフィン部分空間）を表す。すなわち n-変数の一次方程式

<math>a_1 x_1+\cdots +a_n x_n = b</math>

は超平面の方程式である。一次形式

<math>L\colon (x_1,\ldots,x_n)\mapsto a_1x_1+\cdots+a_nx_n</math>

は線型汎函数で、「点・傾き標準形」は

<math>\{(x_1,\ldots,x_n)\mid a_1 x_1+\cdots +a_n x_n = b\}=x_0+\ker L</math>

の形に書くこともできる。

一次方程式の理論は係数や解を（実数や複素数のような数に限らず）一般の（非可換）体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が（非可換）体 K であるような一次方程式が拡大体 L/K で解を持つならば、既に K において解を持ち、K における一般解がそのまま L における一般解になる。

テンプレート:See also A が行列、x がベクトル値の変数、b を定ベクトルとするとき、一次方程式

は A が正則ならば解くことができて x = A⁻¹b となる。

より一般に、集合 X に作用素の集合 T が与えられているとき、X-値の変数 x に対して作用 τ ∈ T および定元 b ∈ X を与えれば、方程式

は意味を持ち、τ の逆作用素 τ⁻¹が存在すれば x = τ⁻¹b となる。特に T が群 G で X がG-加群 M のとき、

なども意味を持つ。