因数定理

多項式に関する因数定理（いんすうていり、factor theorem）は、多項式 f(x) に対して、f(a) = 0 を満たす a が存在すれば f(x) は x − a を因数に持つという定理。

より一般に、一変数多項式の成す環では除法の原理が成り立つから、上の 0 を零元と見れば、多項式の変数に代入が可能な範囲の代数的構造を持つ集合で剰余の定理より導かれる。

例えば f(x) = x³ + 4x² + 3x − 2　とすると、f(−2) = 0 が成立するから f(x) は x − (−2) で割り切れる。実際

f(x) = (x + 2)(x² + 2x − 1)

のように因数分解できる。

複素数係数の多項式ならば、複素数の範囲で少なくとも一つ f(a) = 0 を満たすものが存在するので、常に一次式の積に分解される。これは代数学の基本定理として知られる。

整関数の無限積展開

複素数係数の多項式を複素変数多項式と見なせば、上で見たように因数分解することで、その零点をその位数（重複度）まで込めて陽に示した式として表示できる。このことは整関数にも拡張できるが、一般に整関数の零点は有限個とは限らないので、その表示は一般には無限積になりうる。

例えば、複素変数の正弦関数 sin z は複素数平面 C 全体で定義され、整関数となる。sin z の零点は {nπ | n ∈ Z} で、次のような無限積展開を持つ。

<math>

 \sin z 
 = z \prod_{n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}} \left(1 - \cfrac{z^2}{n^2\pi^2}\right)
 = z \prod_{n \in \mathbb{Z}\smallsetminus\{0\}}\left(1 - \cfrac{z}{n\pi}\right)e^{z/n\pi}

</math>

また、この sin z の無限積展開を用いると、ゼータ関数で変数が正の偶数値をとるときの値を求めることができる。

関連項目

• 代数学の基本定理