くりこみ群
くりこみ群（くりこみぐん）とは、くりこみ変換により構成される半群である。くりこみ"群"(renormalization group)と名前はついているが、実際は「群」(group)ではなく「半群」(semi-group)である点は注意すべきことである。
くりこみ変換
「くりこみ変換」とは、直感的に言うとスケール変換をして粗視化することである。量子論的場の理論の教科書では頂点関数などを例にして説明されることが多いため初学者にとって理解しにくい面があるが、くりこみ群は、そのような量を用いずとも簡単に理解することが可能である。
理論のパラメータが1つである典型的な場合を考える。 パラメータが<math>\;x\;</math>[1]であるとして、 スケール変換 テンプレート:Indent を考える。この時、<math>\;x\;</math>に依存する量 <math>\;g\;</math>[2]が テンプレート:Indent のように変換されると仮定する。したがって、<math>\;G(t,g)\;</math>の初期条件は テンプレート:Indent で与えられる。 パラメータ<math>\;x\;</math>と<math>\;g\;</math>の対<math>\;(x,g)\;</math>は空間 <math>M:=(0,\infty)\times\mathbb{R}</math>の点と 考えられるので、写像<math>\;(x,g)\longrightarrow(x/t, G(t,g))\;</math>は<math>\;M\;</math>の中への写像だと見なせる。
今、変換<math>\;(x,g)\longrightarrow(x/t,G(t,g))\;</math>を テンプレート:Indent と書き、関係式 テンプレート:Indent,\;</math>}} を満足しているものと仮定する[3]。このとき、単位元は<math>\;R_1\;</math>であり、任意の<math>\;R_s,R_t\;</math>に対して<math>\;R_t R_s = R_s R_t\;</math>がわかるので[4]、集合<math>\;\{R_t|t > 0\}\;</math>は、可換半群をなすことがわかる[5]。この<math>\;\{R_t|t > 0\}\;</math>を「くりこみ変換」と呼ぶ。
くりこみ群方程式
くりこみ群方程式とは、端的に言えば、理論のパラメータのスケール変換に対して物理量がどのように応答するかを記述する偏微分方程式のことである。
くりこみ変換の関係式を、<math>\;G(t,g)\;</math>の言葉で書くと、 テンプレート:Indent と表現できる[6]。これは、関数等式としての「くりこみ群方程式」である。このままでは扱いにくいので、普通は<math>\;G(t,g)\;</math>の連続微分可能性を仮定し、偏微分方程式の形に直す。そのためには、<math>\;x=st\;</math>とおいて、上式の両辺を<math>\;t\;</math>で微分して<math>\;t=1\;</math>とおけばよい。得られる式は テンプレート:Indent である。ただし、<math>\;\beta(g)\;</math>は テンプレート:Indent で定義される。 このような偏微分方程式を、「Gell-Mann=Low型のくりこみ群方程式」という。「Gell-Mann=Low型のくりこみ群方程式」とは異なり、非同次項を持つくりこみ群方程式があらわれることもある。そのようなタイプの方程式は、「Callan-Symanzik型のくりこみ群方程式」と呼ばれる[7]。
得られた方程式は1階の線形偏微分方程式であるので、 特性方程式 テンプレート:Indent を解いて一般解を求めることができ[8]、 それは テンプレート:Indent で与えられる。ただし、<math>\;F(g)\;</math>は、 テンプレート:Indent を満足する関数、<math>\;\phi(z)\;</math>は <math>\;z\;</math>の任意関数である。ここで、初期条件 テンプレート:Indent により<math>\;\phi(x)\;</math>は<math>\;F^{-1}(x)\;</math>であることがわかるので [9]、結局、 テンプレート:Indent が解である。
関数<math>\;\beta(g)\;</math>は、物理量のスケール変換の応答を決定する重要な量で、ベータ関数[10]と呼ばれる。ベータ関数をどうやって求めるかは重要な問題だが、摂動計算による以外、事実上、方法はない。
場の理論で<math>\;g\;</math>を頂点関数などに選び、 <math>\;x\;</math>をくりこみ点<math>\;\mu^2\;</math>に選んだ場合、<math>\;g\;</math>の<math>\;x\;</math>依存性は、いくつかの関数<math>\;f_i\;</math>[11]を通してあらわれる。よって、このときのくりこみ群方程式は、 テンプレート:Indent ベータ関数は テンプレート:Indent となる。
応用例
参考文献
- 数学セミナー増刊 数学・物理100の方程式、日本評論社、1989年,ISBN 4-535-70409-0
- S.Coleman, "Dilatation" in Aspect of Symmetry, Cambridge University Press, 1985, ISBN 0 521 31827 0
- 九後汰一郎、ゲージ場の量子論Ⅱ、培風館、1989年、ISBN 4-563-02424-4
脚注
- ↑ 例えば、くりこみ点 <math>\;\mu^2\;</math>や、 カットオフ理論でのカットオフ<math>\;\Lambda\;</math>。
- ↑ 例えば、グリーン関数や頂点関数など。
- ↑ 物理量<math>\;g\;</math>がこの関係式を満足するかどうかは、モデルや<math>\;g\;</math>の選び方によるので、問題ごとにチェックしなければならない。
- ↑ なぜなら、<math>\;ts=st\;</math>であるから。
- ↑ ブロックスピンやウィルソン流のくりこみなどからわかるように、くりこみ変換は1種の粗子化、平均化であるので、1度くりこみ変換をしてしまうと逆変換を求めることは不可能である。これは数学的には逆元が存在しないことと等価であるので、群にはなりえず、半群どまりになる。
- ↑ 左辺は、一気に<math>\;ts\;</math>だけスケール変換したことに相当し、右辺は、先に<math>\;t\;</math>だけスケール変換し、続けて<math>\;s\;</math>分変換したことに相当する。
- ↑ 厳密に言って「Callan-Symanzik型」はくりこみ群方程式では「ない」。しかし、くりこみと関係しているために、くりこみ群方程式と呼ばれることが多い。「Callan-Symanzik型」の場合は、理論の質量をスケール変換したときの応答を考えることで得られる。
- ↑ ただし、関数<math>\;\beta(g)\;</math>は既知だと仮定する。
- ↑ 逆関数<math>\;F^{-1}(x)\;</math>の存在は仮定する
- ↑ 特殊関数のベータ関数<math>\; B(p,q)\;</math>とは無関係。
- ↑ 波動関数のくりこみ<math>\;Z\;</math>、質量のくりこみ <math>\;\delta m\;</math>、結合定数のくりこみ<math>\;Z_3\;</math>など。
