カッシーニの卵形線
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カッシーニの卵形線（カッシーニのらんけいせん、英語：Cassinian oval）は、直交座標の方程式<math>(x^2 + y^2)^2 - 2b^2(x^2 - y^2) - (a^4 - b^4)=0</math>によって表される四次曲線である。
x軸、y軸に対して線対称である。
- a < bのとき2つのまるいループに分かれる。
- <math>(\sqrt{a^2 + b^2},0),(-\sqrt{a^2 + b^2},0),(\sqrt{-a^2 + b^2},0),(-\sqrt{-a^2 + b^2},0)</math>の4点でx軸と交わる。
- a = bのときレムニスケートとなる。
- <math>(\sqrt{a^2 + b^2},0),(-\sqrt{a^2 + b^2},0),(0,0)</math>の3点でx軸と交わる。
- a > bのとき1つのループからなる。
- <math>(\sqrt{a^2 + b^2},0),(-\sqrt{a^2 + b^2},0)</math>の2点でx軸と交わる。
軌跡
2つの定点(-b,0),(b,0)に対して、動点P(x,y)を考える。 2つの定点からPへのそれぞれ距離の積が<math>a^2</math>であるようなPの軌跡がカッシーニの卵形線になる。
すなわち<math>\sqrt{(x+b)^2+y^2}\sqrt{(x-b)^2+y^2}=a^2</math>となり、この式の両辺を2乗してから変形すると、冒頭の定義式が得られる。
