シンプレクティック簡約化

シンプレクティック簡約化とは、マースデンとワインシュタインによって示された「シンプレティック多様体の自由度低減定理」のこと。 これは解析力学におけるネーターの定理の一般化であるともみられる。

簡約化 (Weinstein and Marsden)

<math>\, (M,\omega) \,</math>をシンプレクティック多様体とする。 また、<math>\, G \,</math>をリー群とし、Ｍに作用しているとする：

<math>\, \mathrm{L}_{g} : M \to M ; x \to g\cdot x, \,\,\,\, g\in G. \,</math>

さらに、このＧによる作用はシンプレクティック形式<math>\, \omega \,</math>を保つ、 すなわち、<math>\, L_{g}^{*}\omega = \omega \,</math>であるとする。

<math>\, \mathfrak{g} \,</math>でＧのリー代数を表し、 <math>\, \mathfrak{g}^* \,</math>でその双対空間を表すことにする。 リー群Ｇのシンプレクティック多様体Ｍへの作用に関する運動量写像 <math> J : M \to \mathfrak{g}^* \,</math>とは

<math> dJ_{x}(X)(\xi) = \omega_{x}(\xi_{M}|_{x}, X), \,\,\,\,\, X \in T_{x}M \,</math>

を満たすものである。 ここで、<math>\, \xi \in \mathfrak{g} \,</math>であり、 <math>\, \xi_{M} \,</math>は<math>\, \xi \,</math>に関するＭ上の基本ベクトル場である。 また、<math>\, dJ : TM \to T\mathfrak{g}^* \,</math>はＪの微分写像である。