トーラス

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トーラス

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アニュラス

トーラス（torus、複数形:tori）、多重連結空間、円環面とは、種数 (genus) が 1 の閉曲面。

あるいは、その面に内部を加えたもの。正確には、こちらはトーラス体 (solid torus) と呼ぶ。まれに、面のほうをトーラス面 (torus surface) と呼ぶこともある。

輪環（面/体）、円環（面/体）などともいう。ただし円環という言葉はアニュラス（annulus、環帯）という別の図形に用いることもある。

トーラスの例

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ドーナツ

トポロジー的な意味でのトーラスは、ユークリッド幾何学的にはきわめて多様な図形であるが、その中でもよく知られたものがいくつかある。

ドーナツ型

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R = 大半径、r = 小半径

ファイル:Torus cycles.png

赤色の線がメリディアン、桃色の線がロンジチュード

最もありふれたトーラスは、円（周）の外側に回転軸を置き得られる回転体、いわゆる「ドーナツ型」である。

トーラスの形と大きさを示すには大円の半径である大半径 R と、小円の半径である小半径 r (R > r) の2つの値が必要である（図）。小円とは回転体の断面の円、大円は小円の中心がなす円のことである。大円はトーラスの中心曲線（ちゅうしんきょくせん、core curve）ともいわれる。このトーラスは、xz 平面上の円 C

<math>C: (x - R)^2 + z^2 = r^2 \quad (R>r>0)</math>

をz軸の周りで回転することによって得られ、その方程式は

<math>T: \left(\sqrt{x^2 + y^2} - R \right)^2 + z^2 = r^2</math>

となる。

また、右図のように、媒介変数 t , p （0≦t≦2π , 0≦p≦2π）を使えば

<math> x = R\cos{t} + r\cos{p}\cos{t} \, </math>

<math> y = R\sin{t} + r\cos{p}\sin{t} \, </math>

<math> z = r \sin{p} \, </math>

と表示することもできる（t , p を消去すれば前述の方程式になる）。

ここで媒介変数 t を一定としたときのトーラス上の閉曲線をメリディアン（meridian）または経線（けいせん）といい、 p を一定にしたときのトーラス上の閉曲線をロンジチュード（longitude）または緯線（いせん）という。トポロジー的には、トーラス上で t （または p） を固定した曲線と同位な閉曲線はすべてメリディアン（またはロンジチュード）と考える。

このトーラスの表面積 S と体積 V は、

<math>S = 4 \pi^2 rR = (2 \pi r) (2 \pi R) \,</math>

<math>V = 2 \pi^2 r^2 R = (\pi r^2) (2 \pi R) \,</math>

である。それぞれ、小円の円周と面積に大円の円周を掛けた値になっている。

平坦トーラス

平坦トーラス (flat torus) は、円柱面を平坦なまま曲げて、両側の端を合わせ貼り付けることで得られる。「平坦」とは「曲率0」ということで、円柱面のように1方向にしか曲がっていない面は曲率0なので平坦である。平坦な面は可展、つまり、伸縮なしで平面（や他の平坦な面）に変形可能である。3次元空間内で円柱面を曲げるにはどうやっても伸縮が必要で、曲率のあるドーナツ型しか作れない。平坦トーラスを作るには、4次元空間が必要である。

平坦トーラスは長方形から作ることもできる。丸めて左右の辺を張り合わせて円柱面にし、あとは同じようにすればいい。円柱面の端とは元の長方形の上下の辺なので、上と下、右と左を貼り付けたことになる。ここで順序を変えて、まず右と左、次に上と下を貼り付けても平坦トーラスができ、このトーラスは元のトーラスと合同である。3次元空間内で考えれば、順序を変えると縦横が入れ替わり戻せないように思えるかもしれないが、4次元空間内では回転により重ね合わすことができる。つまり、上下・左右どちらを先に貼り付けても結果は同じである。

平坦トーラスを作る作業は4次元空間内であるため図示も想像も難しいが、実際に曲げずに、単に上と下、右と左が繋がっていると考えれば、平面幾何に関する限り同じことである。あるいは、同じ長方形が上下左右に無限に繰り返していると考えてもいい。家庭用ゲーム・ドラゴンクエストシリーズなどのコンピュータRPGに登場する、世界地図の右端と左端だけでなく上端と下端が同じ向き付けで繋がっているような世界は、地球のような球面ではなく平坦トーラスである。

ここまで長方形を例に挙げたが、実は平行四辺形なら平坦トーラスを作るのに必要十分である。たとえば、二重周期を持つ楕円関数は、二つの基本周期が描く平行四辺形から構成される平坦トーラスの上で、自然に定義される関数であると解釈される。

• MUFFIL-1 Verheftung und Form des 2-Torus.png

  正方形から円筒を、円筒からトーラスをつくる。

• TorusAsSquare.svg

  AとA、BとB（あるいはBとB、AとA）を繋げる。

• Inside-out torus (animated, small).gif

  繋げる順序が違うトーラス間の変形（アニメGIF）。4次元空間では穴あけ・伸縮なしでこの変形が可能である。

トポロジー的なトーラス

トポロジー的には、トーラスはどれだけ伸縮してもいい。有名な例は、ドーナツとコーヒーカップは同相である、というものである。つまり、コーヒーカップ（の表面）もトーラスである。

また、下図のように、結び目状になっているトーラスを考えることもできる。全ての結び目が円周に同相なように、結び目状になっているトーラスも標準的なトーラスと同相になる。ただし中心曲線の結び目が異なれば3次元空間上ではそれらは同位にならない。

トーラスは、2次元球面から2つの円板を除去し、その境界にシリンダー S¹×I の両端を貼り付けることによってつくることもできる。トーラスに対してさらにもう1つシリンダーをつけた曲面は二つ穴トーラス (double torus) と呼ぶことがある。これを繰り返してさらに多くの穴を持ったトーラスを考えることができ、穴の個数のことを種数という。また、シリンダーをつける操作は、新たなトーラスを連結和によって加えていることに相当する。

• Mug and Torus morph.gif

  コーヒーカップとドーナツは同相である

• KnottedTorus.png

  三葉結び目状のトーラス

• Triple torus illustration.png

  3つ穴トーラス

性質

• トーラスの基本群は <x, y | xyx^-1y^-1> である。

n次元トーラス

円周あるいは単純閉曲線 S¹ を 1 次元トーラスという。冒頭で述べた意味でのトーラスは S¹ × S¹ とあらわすことができる（片方の S¹ をメリディアン、もう片方の S¹ をロンジチュードと考えればよい）。一般に、n 次元トーラスあるいは簡単に n-トーラス Tⁿ とは S¹ の n 個の直積

<math>T^n = S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1</math>

のことである。この語法に従えば、冒頭で述べた意味でのトーラスは 2-トーラスということになる。

代数学においては、絶対値が 1 に等しい複素数が複素数平面上で描く軌跡はしばしば S¹ = T¹ とみなされる。また、T¹ は線分 [0, 1] の両端を同一視したもの、あるいは同じことだが実数体 R を有理整数環 Z で割った剰余環 R / Z とも同一視される。このとき、1-トーラス T¹ は積に関してコンパクトな位相群となる。

これをさらに一般化して、位相体のコンパクトな乗法群の直積に同型となるコンパクト群をトーラスと呼ぶことがある。たとえば、位相体上の n 次一般線型群 GL_n に属する対角行列全体の作る群は n 次元トーラス（分裂トーラス）である。

フーリエ級数とは、コンパクト群としての 1-トーラス T¹ 上で定義される、ハール測度に関して自乗可積分な関数の、T¹ の指標（1 次元表現）による展開であると解釈することができる。

関連項目

• 位相幾何学
• 多様体
• フーリエ解析
• トーラス結び目
• トーラス分解
• 宇宙

外部リンク

• Torus -- From MathWorld（トーラス）（英語）
• トーラス・ゲームズ トーラス空間上のゲームで遊ぶことができるゲーム・ソフト（日本語）