イジング模型
テンプレート:統計力学 統計力学において、イジング模型（テンプレート:Lang-en-short、イジングモデルとも言う）とは二つの配位状態をとる格子点から構成され、最隣接する格子点のみの相互作用を考慮する格子模型。強磁性体の模型（モデル）であるとともに、二元合金、格子気体の模型としても用いられる。スピン系のモデルとしては非常に単純化されたモデルであるが、相転移現象を記述可能なモデルであり、多くの物理学者によって、研究されてきた[1]。また、この単純化された性質により、厳密な解析が可能であり、特に外部磁場の無い二次元イジング模型は、厳密解が得られる可解格子模型の一種である。1920年にドイツの物理学者テンプレート:仮リンクによって、提案された[2]。イジング模型の名は、レンツの博士課程の指導学生であり、その研究を行ったテンプレート:仮リンクの名前に因む[3]。1944年に、ラルス・オンサーガーが二次元イジング模型の厳密解を求め、相転移が起きることを示したが、この結果は、統計力学における金字塔の一つとされる[4]。
概要
ハイゼンベルク模型をより簡単化したもので、そのハミルトニアンは、
である。σiは（結晶）格子点i上のスピン。自由度は上向き(+1)と下向き(-1)のみである。Jは最隣接スピン間の相互作用によるエネルギー（交換相互作用エネルギー）である。<math> \left\langle i,j \right\rangle </math>は最隣接格子点のみ和を取ることを意味する。ここで、隣り合う格子点上のスピン同士が、お互い上向き(+1 × +1)または下向き(-1 × -1)の場合（スピンが平行）、<math> \, - {J/2} </math>、互いに逆向き（上向きと下向き：1 × -1または-1 × 1←スピン反平行）の場合、<math> \, {J/2} </math>となる。
イジングの提案の段階で、一次元（格子系）での厳密な解は求められていて、有限温度での相転移を起こさないことが示されていた。その後、1944年にラルス・オンサーガーが二次元イジング模型の厳密解を求めた。これは相転移を起こし、この結果は、相転移現象の記述、理解のために大変重要な役割を果たしている。二次元の磁場の無い場合のこの模型の厳密解はオンサーガーの解法以外にもいくつかの方法が示されている.また,外部磁場が印加されたモデルの厳密解は得られていない.
三次元に関しての厳密解は、2006年現在求められていない。
厳密解が求められるのは、特殊な場合で多くの場合、平均場近似、繰り込み群、級数展開（低温展開、高温展開）の手法などと、これらを用いた数値計算手段を使って近似的に解かれる。
この模型（モデル）は、合金の規則‐不規則（秩序‐無秩序）転移や、異方性の大きな磁性の問題などに適用されている。
脚注
参考文献
- Stephen G. Brush, "History of Lentz-Ising Model," Rev. Mod. Phys., 39, p.883 (1967) テンプレート:Doi
- Somendra M. Bhattacharjee, Avinash Khare, "Fifty Years of the Exact Solution of the Two-Dimensional Ising Model by Onsager," Curr.Sci., 69, p. 816 (1995) テンプレート:ArXiv
- Martin Niss, "History of the Lenz-Ising Model 1920–1950: From Ferromagnetic to Cooperative Phenomena," Arch. Hist. Exact Sci., 59, p. 267 テンプレート:Doi
- 小口武彦 『磁性体の統計理論 』 裳華房 (1970) ISBN 978-4785323127
- I. A. Stepanov. Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models. – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118 - 122. The paper is on the Journal’s website with a free access.
