オイラー積分
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数学に於いて、オイラー積分（オイラーせきぶん, Euler integral, Eulerian integral）とは、数学者オイラー、ルシャンドルに拠って研究された積分[1][2]。 第一種オイラー積分と第二種オイラー積分の2つが存在し、それぞれがベータ関数とガンマ関数に相当する。 オイラー積分の名はルシャンドルに拠って与えられた。
概要
第一種オイラー積分（Euler integral of the first kind）はベータ関数とも呼ばれ、<math>\Re(x)>0</math>, <math>\Re(y)>0</math>を満たす<math>x</math>, <math>y</math>に対して、
- <math>\Beta(x,y)= \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math>
で定義される。
第二種オイラー積分（Euler integral of the second kind）はガンマ関数とも呼ばれ、<math>\Re(z) >0</math>を満たす<math>z</math>に対して、
- <math>\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt</math>
で定義される。
オイラー積分の性質として、正の整数<math>l</math>, <math>m</math>, <math>n</math>に対して、
テンプレート:Indent</math>}}
という表示も在る。
脚注
参考文献
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.
