有理化のソースを表示

[[数学]]において、'''有理化'''（ゆうりか）とは、[[べき根|根号]]を含む式、とくに平方根を含む[[分数]]式の分母または分子、から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ[[無理数]]（[[代数的数|代数的無理数]]）を[[有理数]]に変える操作であることからこの名がある。

== 概要 ==
有理化をすることで計算がしやすくなったりする。例えば

:<math>\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}={2-\sqrt{3}}</math>

などがあげられる。

抽象[[代数学]]的にはこの例は、'''Q''' を有理数体、''d'' &isin; '''Q''' が有理数の[[冪乗|平方]]ではないとしたとき
:<math>\mathbb{Q}(\sqrt{d}) 
  = \left\{ \frac{a + b\sqrt{d}}{a' + b'\sqrt{d}} \,\Big|\, a,a',b,b' \in \mathbb{Q} \right\}
</math>
という '''Q''' の二次拡大体を考えると、
:<math>\mathbb{Q}(\sqrt{d}) = \mathbb{Q}[\sqrt{d}] (= \{ a + b\sqrt{d} \mid a,b \in \mathbb{Q}\})</math>
が成り立つ、という主張に一般化できる。

これは ''K'' = '''Q'''(&radic;''d'') の各元 ''a'' + ''b''&radic;''d'' に対し、その拡大 ''K''/'''Q''' に関する共役元 ''a'' - ''b''&radic;''d'' を掛ければ
:<math>N(a+b\sqrt{d}) := (a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d}) = a^2-b^2d </math>
（この ''N''(''a'' + ''b''&radic;''d'') は ''a'' + ''b''&radic;''d'' の（拡大 ''K''/'''Q''' に関する）ノルムと呼ばれる。）が '''Q''' に属すということから''まさに有理化によって'' 証明されるわけである。

一般に、体 ''K'' の（有限次ガロア）拡大体 ''L'' の元に対し、その元の拡大 ''L''/''K'' に関する共役元（二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある）をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 ''K'' に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。

==実数化==
'''Q''' 以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、'''Q''' を[[実数]]体 '''R''' にとりかえ、''d'' = -1 としてみよう。
:<math>\mathbb{C} = \mathbb{R}(\sqrt{-1}) = \{ a + b\sqrt{-1} \mid a,b \in \mathbb{R}\}</math>
（ここで、&radic;-1 は[[虚数単位]]のことである。）であって、各元（つまり複素数）&alpha; = ''a'' + ''b''&radic;-1 の '''C'''/'''R''' に関する共役元とは[[共役複素数]] ''a'' - ''b''&radic;-1 のことであるということに注意して、そのノルムを計算すると
:<math>N(\alpha) = \alpha\bar{\alpha} = (a+b\sqrt{-1})(a-b\sqrt{-1}) = a^2 + b^2</math>
は '''R''' に属する。したがってたとえば、

:<math>\frac{1}{2+\sqrt{-1}}=\frac{1(2-\sqrt{-1})}{(2+\sqrt{-1})(2-\sqrt{-1})}=\frac{2-\sqrt{-1}}{4+1}=\frac{2-\sqrt{-1}}{5}</math>

などの変形が可能である。このような変形を（分母の）'''実数化'''ということがある。

{{DEFAULTSORT:ゆうりか}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]