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[[多項式]]に関する'''因数定理'''(いんすうていり、''factor theorem'')は、多項式 ''f''(''x'') に対して、''f''(''a'') = 0 を満たす ''a'' が存在すれば ''f''(''x'') は ''x'' − ''a'' を因数に持つという定理。 より一般に、一変数多項式の成す[[環論|環]]では[[除法|除法の原理]]が成り立つから、上の 0 を零元と見れば、多項式の変数に代入が可能な範囲の[[代数的構造]]を持つ集合で[[剰余の定理]]より導かれる。 例えば ''f''(''x'') = ''x''<sup>3</sup> + 4''x''<sup>2</sup> + 3''x'' − 2 とすると、''f''(−2) = 0 が成立するから ''f''(''x'') は ''x'' − (−2) で割り切れる。実際 :''f''(''x'') = (''x'' + 2)(''x''<sup>2</sup> + 2''x'' − 1) のように[[因数分解]]できる。 [[複素数]]係数の多項式ならば、複素数の範囲で少なくとも一つ ''f''(''a'') = 0 を満たすものが存在するので、常に一次式の積に分解される。これは[[代数学の基本定理]]として知られる。 == 整関数の無限積展開 == 複素数係数の多項式を複素変数多項式と見なせば、上で見たように因数分解することで、その零点をその位数(重複度)まで込めて陽に示した式として表示できる。このことは[[整関数]]にも拡張できるが、一般に整関数の零点は有限個とは限らないので、その表示は一般には[[総乗#無限乗積|無限積]]になりうる。 例えば、複素変数の正弦関数 sin ''z'' は[[複素平面|複素数平面]] '''C''' 全体で定義され、整関数となる。sin ''z'' の零点は {''n''π | ''n'' ∈ '''Z'''} で、次のような無限積展開を持つ。 :<math> \sin z = z \prod_{n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}} \left(1 - \cfrac{z^2}{n^2\pi^2}\right) = z \prod_{n \in \mathbb{Z}\smallsetminus\{0\}}\left(1 - \cfrac{z}{n\pi}\right)e^{z/n\pi} </math> また、この sin ''z'' の無限積展開を用いると、[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]で変数が正の偶数値をとるときの値を求めることができる。 ==関連項目== *[[代数学の基本定理]] {{DEFAULTSORT:いんすうていり}} [[Category:多項式]] [[Category:初等数学]] [[Category:定理]] [[Category:数学に関する記事]]
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