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[[数学]]において、'''エアリー[[関数_(数学)|関数]]''' <math>Ai(x)</math> 、 <math>Bi(x)</math> とは[[特殊関数]]の一つである。'''エアリー積分'''ともいう。 [[電磁波]]の[[回折]]や一様な[[場]]における[[粒子]]の[[運動_(物理学)|運動]]における[[シュレーディンガー方程式]]の[[方程式|解]]([[波動関数]])や[[虹]]の[[光]]の[[振幅]]に現れる。 [[イギリス]]の[[天文学者]][[ジョージ・ビドル・エアリー]](''George Biddell Airy'')に由来する。 [[関数_(数学)|関数]] <math>Ai(x)</math> 、 <math>Bi(x)</math> は[[エアリーの微分方程式]] :<math>\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} - xf(x) = 0</math> の[[方程式|解]]である。 この[[微分方程式]]は、下記の[[グラフ]]に見られるように[[振動]]から[[指数関数]]的振る舞いへと移るような[[方程式|解]]を持つ二階[[線型微分方程式]]の中で最も簡単な[[微分方程式]]である。 ==定義== 上記の方程式は二階[[線型微分方程式]]なので、2つの[[線型独立]]な[[方程式|解]]を持つ。 一つを <math>Ai(x)</math> とし、もう一つの関数 <math>Bi(x)</math> は、下の[[グラフ]]のように、 <math>x \rightarrow -\infty</math> としたときに、<math>Ai(x)</math>と[[振幅]]が等しくなり、[[位相]] <math>\theta = \frac{\pi}{2}</math> だけずれたような[[振動]]をもつ[[関数_(数学)|関数]]として取る。単に、 ''A'' の次の[[アルファベット]] ''B'' を用いただけで、 ''Bi'' という文字には大した意味はない。 [[実数]] <math>x</math> に対し、'''エアリー[[関数_(数学)|関数]]''' <math>Ai(x)</math> 、 <math>Bi(x)</math> は次の[[積分]]によって[[定義]]される。 :<math>\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt</math> :<math>\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left\{\sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right) + \exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right)\right\}\, dt</math> ここで、 <math>Ai(x)</math> 、 <math>Bi(x)</math> が、上記の[[微分方程式]]を満たすことがわかる。 <math>t \rightarrow \infty</math> でも、被[[積分]][[関数_(数学)|関数]]が0に[[極限|収束]]することはないが、[[積分]]自体は[[極限|収束]]する。 [[部分積分]]を用いると、この[[積分]]が[[極限|収束]]することが分かる。 エアリー[[関数_(数学)|関数]]の定義式中の[[積分]]の内側を2度[[微分]]し、 <math>y = \pm\frac{t^3}{3} + xt</math> とし、 <math>t^{2}dt = \pm\left(dy-xdt\right)</math> を用いて部分[[積分]]すればよい。 [[画像:Airy_plot.svg|centre|frame| 赤色実線が <math>Ai(x)</math> を、緑色破線が <math>Bi(x)</math> を表す。]] ==性質== <math>Ai(x)</math> と <math>Bi(x)</math> の <math>x = 0</math>での[[値]]、及び、その[[微分法|微分係数]]は、[[ガンマ関数]]を用いて、 :<math> \mathrm{Ai}(0) = \frac{1}{3^{2/3}\Gamma(\frac23)}, \quad \mathrm{Bi}(0) = \frac{1}{3^{1/6}\Gamma(\frac23)}, \quad \mathrm{Ai}'(0) = -\frac{1}{3^{1/3}\Gamma(\frac13)}, \quad \mathrm{Bi}'(0) = \frac{3^{1/6}}{\Gamma(\frac13)}. </math> と書ける。 この時、 <math>Ai(x)</math> と <math>Bi(x)</math> の[[線型微分方程式#ロンスキーの行列式|ロンスキアン]]を求めると、 :<math>W(x) = \frac{1}{\pi}</math> となる。 <math>x > 0</math> であれば、 <math>Ai(x) > 0</math> で、0に[[極限|収束]]する[[単調写像|単調]]減少[[関数_(数学)|関数]]となる、この時 <math>Bi(x) > 0</math> で[[単調写像|単調]]増加[[関数_(数学)|関数]]になる。 <math>x < 0</math> であれば、 <math>Ai(x)</math> と <math>Bi(x)</math> は、0 を境に[[振動]]し、<math>x</math> が小さい程、[[振動]]は激しく、[[振幅]]は小さくなっていく。 これは、エアリー[[関数_(数学)|関数]]の漸近[[公式]]からもわかる。 ==漸近公式== <math>x \rightarrow \infty</math> としたときの、エアリー[[関数_(数学)|関数]]の漸近的振る舞いは次で与えられる。 :<math> \mathrm{Ai}(x) \sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} </math> :<math> \mathrm{Bi}(x) \sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} </math> 逆に、 <math>-x \rightarrow -\infty</math> であれば、 :<math> \mathrm{Ai}(-x) \sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}-\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} </math> :<math> \mathrm{Bi}(-x) \sim -\frac{\sin(\frac23x^{3/2}-\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} </math> この[[公式]]は[[漸近展開]] を用いることによって得られる。 これらの[[結果]]は ([[Abramowitz and Stegun]], 1954) と (Olver, 1974)による。 ==複素変数== 次のようにエアリー[[関数_(数学)|関数]]の定義域を、[[複素数|複素平面]]上に拡げることができる。 :<math>\mathrm{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt </math> [[積分]]路は、[[複素数#極形式|偏角]] <math>\theta = -\frac{\pi}{3}</math> の[[無限]]遠点から、[[複素数#極形式|偏角]] <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math> の[[無限]]遠点までとする。 さらに、[[複素数|複素平面]]上の[[微分方程式]] :<math>\frac{d^2f(z)}{dz^2} - x\frac{df(z)}{dz} = 0</math> を用いれば <math>Ai(x)</math> と <math>Bi(x)</math> を、[[複素数|複素平面]]上での [[整関数]] <math>Ai(z)</math> と <math>Bi(z)</math> に拡張できる。 <math>z^{\frac{2}{3}}</math> の[[主値]]を取り、 <math>z</math> が負の実[[座標軸|軸]]上に無く[[有界]]であれば、 <math>Ai(z)</math>に関する漸近[[公式]]はそのまま成り立つ。 <math>Bi(z)</math> に関する漸近[[公式]]は適当な正の[[数]] <math>\delta</math> を決めて得られる[[扇形]][[領域_(数学)|領域]] :<math>D = \left\{z \in C \mid | \arg{z} | < \frac{1}{3} \pi - \delta\right\}</math> の点 <math>z</math> に対して成り立つ。 <math>z</math> が[[扇形]][[領域_(数学)|領域]] :<math>D = \left\{z \in C \mid | \arg{z} | < \frac{2}{3} \pi - \delta\right\}</math> にあれば、<math>Ai(-z)</math> と <math>Bi(-z)</math> ともに、漸近[[公式]]が成り立つ。 エアリー[[関数_(数学)|関数]]の漸近的振る舞いより、 <math>Ai(z)</math> と <math>Bi(z)</math> はともに、負の実[[座標軸|軸]]上に[[無限]]個の[[零点]]を持つことが分かる。 [[関数_(数学)|関数]] <math>Ai(z)</math> は、[[複素数|複素平面]]上にこれ以外の[[零点]]を持たないが、 <math>Bi(z)</math> は、[[領域_(数学)|領域]] :<math>D = \left\{z \in C \mid \frac{\pi}{3} < | \arg{z} | < \frac{\pi}{2}\right\}</math> に[[無限]]個の[[零点]]を持つ。 ==他の特殊関数との関係== 引数が正(<math>x > 0</math>)の時、エアリー[[関数_(数学)|関数]]は[[ベッセル関数|修正ベッセル関数]]との間に次のような[[二項関係|関係]]がある。 :<math> \mathrm{Ai}(x) = \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right), </math> :<math> \mathrm{Bi}(x) = \sqrt{\frac13 x} \left(I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right)</math> ここで、 <math>I_{\pm\frac{1}{3}}</math> と <math>K_{\frac{1}{3}}</math> は :<math>x^{2}\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} + x\frac{df(x)}{dx} - (x^{2} + \frac{1}{9})f(x) = 0</math> の[[方程式|解]]である。 引数が負の時、エアリー[[関数_(数学)|関数]]は[[ベッセル関数]]との間に次のような[[二項関係|関係]]がある。 :<math> \mathrm{Ai}(-x) = \frac13 \sqrt{x} \left(J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right), </math> :<math> \mathrm{Bi}(-x) = \sqrt{\frac13 x} \left(J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right). </math> ここで、 <math>J_{\pm\frac{1}{3}}</math> は :<math>x^{2}\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} + x\frac{df(x)}{dx} - (x^{2} - \frac{1}{9})f(x) = 0</math> の[[方程式|解]]である。 [[スカラーの関数]]は :<math>\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} - x\frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{\pi}</math> の解である。これらをエアリー[[関数_(数学)|関数]]を用いて表すと :<math> \mathrm{Gi}(x) = \mathrm{Bi}(x) \int_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt, </math> :<math> \mathrm{Hi}(x) = \mathrm{Bi}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt. </math> となる。 ==歴史== エアリー[[関数_(数学)|関数]]は、[[イギリス]]の[[天文学者]][[ジョージ・ビドル・エアリー]]による[[光学]]の[[研究]] (Airy 1838) で用いられた。 Ai(''x'') という表記は[[ハロルド・ジェフリース]]によるものである。 ==外部リンク== * [http://mathworld.wolfram.com/AiryFunctions.html MathWorld: Airy functions] * [http://dlmf.nist.gov/Contents/AI/index.html Chapter AI: Airy and related functions] in the ''Digital Library of Mathematical Functions.'' * [http://d.hatena.ne.jp/atomion/20071001/1191195149 Airy関数の理論 その1] * [http://d.hatena.ne.jp/atomion/20071003/1191374883 Airy関数の理論 その2] * [http://d.hatena.ne.jp/atomion/20071010/1191977773 Airy関数の理論 その3] ==参考文献== * Abramowitz and Stegun (1954). ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]'', Section 10.4. National Bureau of Standards. * Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. ''Transactions of the Cambridge Philosophical Society,'' '''6''', 379—402. * Olver (1974). ''Asymptotics and Special Functions,'' Chapter 11. Academic Press, New York. {{デフォルトソート:えありいかんすう}} [[Category:特殊関数]] [[Category:数学に関する記事]]
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